第十章 “實數”簡介
課程教材研究所 左懷玲從《數學課程標準》看，關于數的內容，第三學段主要學習有理數和實數，它們是“數與代數”領域的重要內容。對于有理數和實數，本套教課書安排3章內容，分別是7年級上冊第1章“有理數”，7年級下冊第10章“實數”和9年級上冊第21章“二次根式”。本章是在有理數的基礎上認識實數，對于實數的學習，除本章外，還要在“二次根式”一章中通過研究二次根式的運算，進一步認識實數的運算。
本章的主要內容是平方根、立方根的概念和求法，實數的有關概念和運算.通過本章的學習，學生對數的認識就由有理數的范圍擴大到實數范圍，本章之前的數學內容都是在有理數范圍內討論的，學習本章之后，將在實數范圍內研究問題.雖然本章的內容不多，篇幅不大，但在中學數學中占有重要的地位，本章內容不僅是后面學習二次根式、一元二次方程以及解三角形等知識的基礎，也為學習高中數學中不等式、函數以及解析幾何等的大部分知識作好準備.
本章教學時間約需8課時，具體分配如下（僅供參考）：
10.1 平方根 3課時
10.2 立方根 2課時
10.3 實數 2課時
數學活動
小 結 1課時
一、教科書內容和課程學習目標
�。ㄒ唬┍菊轮R結構框圖
1.本章知識的內在結構如下圖所示：
2.本章知識的展開順序如下圖所示：
（二）教科書內容
本章主要內容包括算術平方根、平方根、立方根以及實數的有關概念和運算.本章的重點是算術平方根和平方根的概念和求法，本章難點是平方根和實數的概念.
教科書的第一節是平方根，本節先研究算術平方根，再研究平方根。教科書首先創設一個問題情景，抽象出這個情景中的數學問題，即已知正方形的面積求邊長的問題，這是一個典型的求算術平方根的問題，這與學生以前熟悉的已知邊長求面積是一個互逆的過程。通過對這類問題的探討，引出算術平方根，給出算術平方根的概念和它的符號表示，這時教科書所涉及到的被開方數都是完全平方數.接下去，教科書設置一個“探究”欄目，要求學生將兩個面積為1的小正方形拼成一個面積為2的大正方形，并求出這個大正方形的邊長。這也是一個已知正方形的面積求它的邊長的問題，由于這個大正方形的面積為2，根據前面學過的算術平方根的概念和表示方法，可以求出這個大正方形的邊長是，這樣教科書就引進了用根號形式表示的無理數（不出現無理數的概念），這是教科書第一次出現這樣的數.另外，通過學生將兩個面積為1的小正方形拼成一個面積為2的大正方形的活動，也使學生感受到無理數是從現實世界中抽象出來的，是一種不同于有理數的數.出現以后，一個很自然的問題，就是要討論的大小。教科書采用夾逼的方法，利用不足近似和剩余近似來估計的大小，通過一步一步的估計，得到越來越精確的的近似值，進而指出是一個無限不循環小數的事實，同時指出，，等也是無限不循環小數等，這就為后面認識無理數打下基礎。會使用計算器求數的算術平方根是本章的一個教學要求，教科書通過一個例題，介紹了使用計算器求算術平方根的方法，并利用計算器進一步說明了是無限不循環小數這個結論，加深學生對無理數的認識。用有理數估計無理數的大小，也是學習本章應該注意的一個問題，教科書結合一個實際例子介紹了用有理數估計無理數的常用方法.到此為止，教科書討論了有關算術平方根的內容，包括算術平方根的概念、求法，無限不循環小數以及用有理數估計無理數等內容。接下去，教科書設置一個“思考”欄目，展開了對平方根的討論。在這個“思考”欄目中，要求學生算出平方等于9的數，通過對這個問題的探討，找到解決問題的方法，利用這種方法進一步求出平方等于1，16，36…的數，由此歸納給出平方根的概念，進而引出開平方運算。開平方運算與平方運算是互逆運算，教科書通過舉例分析了這兩種運算的互逆過程，并用圖示進一步說明。最后，教科書結合具體例子，通過具體計算一些數的平方根，探討了數的平方根的特征，并通過一個“歸納”欄目，要求學生自己歸納給出“正數的平方根有兩個，它們互為相反數，0的平方根是0，負數沒有平方根”等這些數的平方根的特征.